Список интегралов от экспоненциальных функций. Вычисление интегралов Интеграл от e в степени

Интегралы онлайн на сайт для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. Всякий раз, как только начать решать интеграл, нужно выявить его тип, без этого нельзя применять ни один метод, если не считать его табличным. Не всякий табличный интеграл виден явно из заданного примера, иногда нужно преобразовать исходную функцию, чтобы найти первообразную. На практике решение интегралов сводится к интерпретированию задачи по нахождению исходной, то есть первообразной из бесконечного семейства функций, но если заданы пределы интегрирования, то по формуле Ньютона-Лейбница остается лишь одна единственная функция, к которой нужно будет применять расчеты. Неформально интеграл онлайн является площадью между графиком функции и осью абсцисс в пределах интегрирования. Позвольте нам вычислить сложный интеграл по одной переменной и связать его ответ с дальнейшим решением задачи. Можно, что говорится, в лоб найти его от подынтегральной функции. Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения. Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающихся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Наиболее простым является интеграл Римана – это определенный интеграл или неопределенный интеграл. Неформально integral одной переменной можно ввести как площади под графика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Пытаясь найти эту площадь, можно рассматривать фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка на соответствующее количество маленьких отрезков. Калькулятор решает интегралы c описанием действий подробно и бесплатно! Неопределённый интеграл онлайн для функции - это совокупность всех первообразных данной функции. Если функция определена и непрерывна на промежутке, то для нее есть первообразная функция (или семейство первообразных). Лучше тщательно подойти к этому делу и испытать внутреннее удовлетворение от проделанной работы. Но вычислить интеграл способ отличным от классического, порой приводит к неожиданным результатам и удивляться этому нельзя. Радует тот факт, который окажет положительный резонанс на происходящее. Список определенных интегралов и неопределенных интегралов с полным подробным пошаговым решением. Нахождение неопределенного интеграла онлайн является очень частой задачей в высшей математике и других технических разделах науки. Основные методы интегрирования. Задумайтесь о выполненных зданиях раньше, чем найдутся ошибки. Решение интегралов онлайн - вы получите подробное решение для разных типов интегралов: неопределённых, определённых, несобственных. Интеграл функции - аналог суммы последовательности. Неформально говоря, определённый интеграл является площадью части графика функции. Зачастую такой интеграл определяет, насколько тело тяжелее сравниваемого с ним объекта такой же плотности, и неважно, какой он формы, потому что поверхность не впитывает воду. Как найти интеграл онлайн знает каждый студент младших курсов. На базе школьной программы этот раздел математики также изучается, но не подробно, а лишь азы такой сложной и важной темы. В большинстве случаев студенты приступают к изучению интегралов с обширной теории, которой предшествуют тоже важные темы, такие как производная и предельные переходы - они же пределы. Решение интегралов постепенно начинается с самых элементарных примеров от простых функций, и завершается применением множества подходов и правил, предложенных еще в прошлом веке и даже намного раньше. Интегральное исчисление носит ознакомительный характер в лицеях и школах, то есть в средних учебных заведениях. Наш сайт сайт всегда поможет вам и решение интегралов онлайн станет для вас обыденным, а самое главное понятным занятием. На базе данного ресурса вы с легкостью сможете достичь совершенства в этом математическом разделе. Постигая шаг за шагом изучаемые правила, например, такие как интегрирование, по частям или применение метода Чебышева, вы с легкость решите на максимальное количество баллов любой тест. Так как же все-таки нам вычислить интеграл, применяя известную всем таблицу интегралов, но так, чтобы решение было правильным, корректным и с максимально возможным точным ответом? Как научиться этому и возможно ли это сделать обычному первокурснику в кратчайшие сроки? На этот вопрос ответим утвердительно - можно! При этом вы не только сможете решить любой пример, но и достигнете уровня высококлассного инженера. Секрет прост как никогда - необходимо приложить максимальное усилие, уделить необходимое количество времени на самоподготовку. К сожалению, еще никто не придумал иного способа! Но не все так облачно, как кажется на первый взгляд. Если вы обратитесь к нашему сервису сайт с данным вопросом, то мы облегчим вам жизнь, потому что наш сайт может вычислять интегралы онлайн подробно, при этом с очень высокой скоростью и безупречно точным ответом. По своей сути интеграл не определяет, как влияет отношение аргументов на устойчивость системы в целом. Механический смысл интеграла заключается во многих прикладных задачах, это и определение объема тел, и вычисление массы тела. Тройные и двойные интегралы участвуют как раз этих расчетах. Мы настаиваем на том, чтобы решение интегралов онлайн производилось только под наблюдением опытных преподавателей и через многочисленные проверки.. Нас спрашивают часто об успеваемости учеников, которые не посещают лекции, прогуливают их без причин, как же им удается найти интеграл самим. Мы отвечаем, что студенты народ свободный и вполне могут проходить обучение экстерном, готовясь к зачету или экзамену в комфортных домашних условиях. За считанные секунды наш сервис поможет каждому желающему вычислить интеграл от любой заданной функции по переменной. Проверить полученный результат следует взятием производной от первообразной функции. При этом константа от решения интеграла обращается в ноль. Это правило, очевидно, для всех. Существует не много таких сайтов, которые в считанные секунды выдают пошаговый ответ, а главное с высокой точностью и в удобном виде. Но не нужно забывать и о том, как имеется возможность найти интеграл с помощью готового сервиса, проверенного временем и испытанного на тысячах решенных примеров в режиме онлайн.

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045...

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел :
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

График экспоненты, y = e x .

На графике представлена экспонента, е в степени х .
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

;
;
;

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Нахождение неопределенного интеграла является очень частой задачей в высшей математике и других технических разделах науки. Даже решение простейших физических задач часто не обходится без вычисления нескольких простых интегралов. Поэтому со школьного возраста нас учат приемам и методам решения интегралов, приводятся многочисленные таблицы с интегралами простейших функций. Однако со временем всё это благополучно забывается, либо у нас не хватает времени на рассчеты или нам нужно найти решение неопределеленного интеграла от очень сложной функции. Для решения этих проблем для вас будет незаменим наш сервис, позволяющий безошибочно находить неопределенный интеграл онлайн .

Решить неопределенный интеграл

Онлайн сервис на сайт позволяет находить решение интеграла онлайн быстро, бесплатно и качественно. Вы можете заменить поиск по таблицам нужного интеграла нашим сервисом, где быстро введя нужную функции, вы получите решение неопределенного интеграла в табличном варианте. Не все математические сайты способны вычислять неопределенные интегралы функций в режиме онлайн быстро и качественно, особенно если требуется найти неопределенный интеграл от сложной функции или таких функций, которые не включены в общий курс высшей математики. Сайт сайт поможет решить интеграл онлайн и справиться с поставленной задачей. Используя онлайн решение интеграла на сайте сайт, вы всегда получите точный ответ.

Даже если вы хотите вычислить интеграл самостоятельно, благодаря нашему сервису вам будет легко проверить свой ответ, найти допущенную ошибку или описку, либо же убедиться в безукоризненном выполнении задания. Если вы решаете задачу и вам как вспомогательное действие необходимо вычислить неопределенный интеграл, то зачем тратить время на эти действия, которые, возможно, вы уже выполняли тысячу раз? Тем более, что дополнительные расчеты интеграла могут быть причиной описки или маленькой ошибки, приведших впоследствии к неверному ответу. Просто воспользуйтесь нашими услугами и найдите неопределенный интеграл онлайн без каких-либо усилий. Для практических задач по нахождению интеграла функции онлайн этот сервер очень полезен. Необходимо ввести заданную функцию, получить онлайн решение неопределенного интеграла и сравнить ответ с вашим решением.

В списке везде опущена константа интегрирования.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ The number e explained in depth for (smart) dummies

✪ When an integral defined function is 0

✪ The main dish, integral of sin(x)/x from 0 to inf, via Feynman"s Technique

✪ Hyperbolic Functions - The Basics

✪ Numberphile v. Math: the truth about 1+2+3+...=-1/12

Субтитры

Добро пожаловать в новое видео от Mathologer. Некоторое время назад я снял видео, в котором хотел по-простому объяснить таинственное равенство: e^(iπ) = -1, Гомеру Симпсону, который встретил его в одном из эпизодов "Шалаш Ужасов". Моя цель заключалась в том, чтобы объяснить почему это равенство верно, человеку, обладающему лишь базовыми знаниями об арифметике: сложение, вычитание, умножение, деление. Сегодня я хотел бы сделать то же самое в отношении других фундаментальных фактов о числе e. Факты, которые я имею в виду, включают в себя и это воистину восхитительное равенство, которое выражает экспоненциальную функцию в виде бесконечной суммы. В первую очередь, я покажу Гомеру (и вам), как можно вывести это равенство с нуля, используя лишь базовую арифметику. Далее мы можем приравнять x к единице и использовать получающуюся сумму для подсчёта сколь угодного числа знаков после запятой у числа e. Главное здесь – понять, на каком месте можно перестать суммировать слагаемые этой бесконечной суммы и быть совершенно уверенным, что мы посчитали допустим, первый миллион знаков после запятой у числа e. Или сколько бы знаков вам ни потребовалось. После этого я докажу, что e является иррациональным числом, то есть что оно не может быть записано в виде дроби. А на десерт я оставлю такое, для чего мне понадобится "поймать" Гомера в тот день, когда он очень умён и помнит, скажем, немного материала из матанализа. Финал видео будет заключаться в доказательстве, почему производная экспоненциальной функции – это она сама, несколько повсеместно известных фактов о натуральном логарифме (это обратная функция к экспоненциальной), и закруглимся мы парочкой других исключительных результатов. Основная цель видео: показать вам, ПОЧЕМУ все эти факты правдивы. Я не хочу просто поболтать о них вскользь, как это обычно бывает на YouTube. И я хочу показать всё это настолько простым и доступным образом, насколько возможно. Как всегда, пожалуйста, напишите в комментариях, насколько мне это удалось сделать. В видео про "e^(iπ)" я сначала показал Гомеру, что если он инвестирует 1 доллар под процентную ставку в 100% и если проценты накапливаются N раз (поверх друг друга) за год, то он получит вот столько долларов в конце года. К примеру, если проценты накапливаются дважды, то в итоге вернётся 2 доллара и 25 центов. Чем чаще накапливаются проценты, то есть, чем больше становится N, тем больше денег вы получите в конце года. Однако это количество не растёт бесконечно. Существует предельное значение, и этот предел как раз равен числу e, или примерно 2.718. Далее в том видео я показал Гомеру, что из этого факта можно легко вывести экспоненциальную функцию. Подставляя любое число вместо x, к примеру, 5, дальше увеличивать N, и в пределе вы получите в точности e^5. Дальше мы просто в лоб подставили i*π вместо x и решили взглянуть, что будет, когда мы увеличиваем N. Если перевести эту операцию в геометрическую форму, то получится вот такой изящный комплексный числовой покебол:) Он ведь похож на него, да? Зелёная точка здесь показывает, какое комплексное число мы получаем для N=6. Дальше мы увеличиваем и увеличиваем N, и можно заметить, что зелёная точка стремится к (-1). Таким образом, e^(iπ) равно минус единице. Очень изящно, советую посмотреть. Сейчас же я вернусь к вот этой части предыдущего аргумента и немного отклонюсь от него. Давайте сделаем кое-что естественное, что любой из вас может попробовать: давайте раскроем скобки в правой части для небольших N и посмотрим, есть ли там какая-нибудь закономерность. Итак, начнём с N=1: раскрывать здесь нечего. N равное 2: я уверен, что любой зритель сможет сделать это. N равное 3, затем 4, и так далее. Пара закономерностей действительно проявились, не так ли? Понятно, как преобразуются зелёные и синие части в этом выражении дальше. Как насчёт остальных чисел? У них тоже есть закономерность, с которой многие из вас наверняка знакомы ещё со школы. Это биномиальные коэффициенты, которые могут быть выражены в таком виде. И вот она, наша закономерность. Прежде, чем продолжить, я хотел бы напомнить о существующем специальном способе записывать эти знаменатели - 1, 1*2, 1*2*3, и так далее. К примеру, "1*2*3" записывается как "3!". Это называется 3-факториал. А тут у нас 1 и 2 факториалы. Теперь, когда мы установили закономерность, давайте наращивать N и заменим 4 на что-то побольше, скажем, на 1000. Итак, поехали... Теперь я хочу поменять вещи местами вот так. То есть, я хочу поменять 1! местами с 1000, 2! поменять местами с 1000^2, 3! – поменять местами с 1000^3, и так далее. Получается такое выражение. Теперь посмотрим на сами дроби. Вот эта дробь равна единице. Эта часть также равна 1. Что насчёт вот этой? Ну, она достаточно близка к 1, и по мере того, как мы заменяем 1000 на всё бОльшие и бОльшие числа, эта дробь будет стремиться к 1. Все остальные дроби, что вы видите, также будут стремиться к единице. Таким образом, все эти числа стремятся к единице. А в пределе, как мы помним, мы в точности получаем вот это равенство. И если вы – математик, то можете "расставить все точки над i", доказав, что это потрясающее равенство в действительности всегда верно. Независимо от того, что подставлять вместо X. Если вам известно побольше из математики, то с этим равенством вы наверняка сталкивались, однако выводили совсем иначе, в более обобщённом виде. В этом обобщённом контексте эта сумма называется рядом Маклорена экспоненциальной функции, и выводится она при помощи матанализа. Если подставить X, равное 1, то мы получим вот такое равенство. И оно позволит нам приближённо подсчитать e путём сложения всё большего и большего количества этих простых слагаемых. Как я и обещал (надеюсь, Гомер ещё не потерял голову от всего этого:)), я использовал лишь простую арифметику и старался не вдаваться в сложности. Прежде, мы подсчитывали e путём увеличивания числа N в этом выражении (слева). Но использовать его для подсчёта хорошей оценки числа e достаточно пролематично, так как каждый раз, когда мы увеличиваем N, нам приходится откатиться назад и начать вычисления с чистого листа. Что ещё более важно, несмотря на то что в пределе мы получаем e, мы всё равно пока не имеем понятия о том, насколько большим должно быть число N, чтобы гарантировать нам правильность оценки нужного количества знаков после запятой. С другой стороны, использовать бесконечную сумму для той же цели куда проще, она легче в применении в этом смысле. По мере сложения вместе всё большего количества этих слагаемых, оценка для e становится всё лучше и лучше. Также очень легко предсказать, насколько близко наша оценка (полученная из бесконечной суммы) находится к числу e. Вот что будет, если округлить бесконечную сумму на восьмом слагаемом. Насколько близко нам удастся приблизиться к e? Ну, сама ошибка оценки, или разность между e и этой оценкой, – это просто сумма всех оставшихся слагаемых. Давайте оценим, насколько велика эта ошибка. Число 8!, которое мы видим внизу, – это лишь произведение чисел 1*2*... и до 8, то есть 7! умноженное на 8. 9! = 7! * 8! и так далее. Вынесем 1/7! за скобки. Оставшаяся скобка по-прежнему довольно сложная, поэтому давайте попробуем радикальные меры: заменим 8, 9, 10, и т.д., в знаменателе на двойки. Это даст нам новое выражение, причём попроще. Будет ли это выражение в итоге больше или меньше, чем ошибка? Что ж, когда мы проводим замену жёлтых знаменателей, мы их уменьшаем. Это значит, что новое выражение должно быть больше, чем ошибка оценки, так ведь? Но тогда становится совсем легко заметить, что в скобках у нас 1/2 + 1/4 + 1/8, и так далее, и это, как вы все знаете, равно единице. Подведём итог: ошибка оценки, которую мы получаем после обрубания нашей суммы на 1/N!-ом слагаемом, не превосходит 1/N! И это очень здорово, так как 1/N! уменьшается и убывает крайне быстро. Давайте посчитаем всё, что у нас на данный момент тут есть. Если посмотреть на нулях в ошибке нашей оценки, то становится ясно, что наша оценка будет верна в первых четырёх знаках, и это действительно так. Поэтому если бы нам пришло на ум повеселиться и взяться за подсчёт с нуля первого миллион знаков e, то, чтобы понять, сколько именно членов этой суммы нам нужно сложить, нам нужно было бы установить, какое число нам нужно подставить вместо 7, чтобы в результате в начале нижней оценки здесь получился миллион нулей. Обсудите в комментариях, почему, основываясь на том, что я сказал и показал до сих пор, может быть лучше стремиться к 1,000,001 нулю в этой ошибке вместо просто миллиона. Так или иначе, таким образом можно установить, что нам нужно просуммировать немного больше первых 205,000 слагаемых этой бесконечной суммы, чтобы гарантированно получить миллион первых знаков e. Неплохо, да? И, как ни удивительно, подобный подход, который мы здесь использовали, также является очень прикладным. На самом деле бесконечные суммы и оценки такого рода используются постоянно, когда нужно придумывать оценки для сложных чисел, оценки которые достаточно точны в целях применения на практике. Оказывается, и я считаю этот факт реально неожиданным и удивительным, оценка ошибки этого метода позволяет нам прямолинейным способом доказать, что e является иррациональным числом, то есть что никакая дробь не может быть равна e. Готовы к настоящей магии? Итак, для начала посмотрим на то, что мы имеем на данный момент. В левой части неравенства стоит разность между истинным значением и его оценкой. Иными словами, это ошибка нашей оценки. И мы установили, что эта ошибка меньше, чем 1/7! В качестве разминки, используем это неравенство для того, чтобы доказать, что одна конкретная дробь, 19/7, не равна числу e. Почему именно 19/7? На самом деле, совершенно не важно, с какой именно дроби мы начнём. Причина, по которой мы используем 19/7, – это то, что у неё в знаменателе стоит 7. Это будет хорошо сочетаться с другими семерками, которые уже находятся в нашем неравенстве. Итак, может ли число e равняться 19/7? Давайте предположим, что они равны. Тогда наше неравенство преобразуется вот так. 19/7 минус вся ерунда в скобках, должно быть меньше чем 1/7! Теперь заметим, что все знаменатели в левой части – это делители числа 7!. Поразмыслите об этом несколько секунд. Они действительно делят 7!, что означает, что мы можем скомбинировать левую часть в единую дробь со знаменателем 7!, в которой вместо знака "?" мы будем иметь 1, 2, 3 или какое-то другое положительное число. Поэтому ЕСЛИ 19/7 действительно равно e, ТО, как мы только что показали, ошибка будет равна 1/7! или больше (если вместо "?" стоит большее число). Однако ключевой момент заключается в том, что мы уже знаем, что эта ошибка точно меньше, чем 1/7! . Поэтому наше изначальное предположение, что 19/7 равно e, влечёт за собой очевидно ложное утверждение. Это значит, что наше предположение о том, что 19/7 равно e, было изначально неверным. Тадам! Признайтесь, вы этого не ожидали. Чтобы показать, что e не равно никакой дроби вида a/b, нам нужно скорректировать доказательство таким образом. Сначала заменить 19/7 на a/b. Затем, вместо суммирования до 1/7! , мы должны просуммировать до слагаемого 1/b! . Оценка справа также меняется на 1/b! , и тогда вот это утверждение, ниже, по-прежнему остаётся невозможным, что означает, что никакая дробь не может быть равна e. Или, иными словами, что число e иррационально. Возможно, вам потребуется пересмотреть эту часть видео вновь, чтобы полностью вникнуть в происходящее. Это доказательство работает благодаря тому, что оценка числа e (слева) чрезвычайно близка к нему, в том смысле что она может быть записана как дробь, которая отличается от e меньше, чем на 1/b! . Аналогичные очень близкие оценки существуют для числа π и других иррациональных чисел, и также играют важную роль в доказательстве иррациональности и трансцендентности этих чисел. К слову, следующим пунктом в моём списке дел является как раз видео о трансцендентных числах, так что не переключайтесь. :) *бессвязное пение* *бессвязное пение*. (диктор): "Сегодняшний эпизод Симпсонов был сделан при поддержке символа ü и числа e. Не буквы "е", а числа, чья степенная функция является производной самой себя". (Mathologer): Хм... Экспоненциальная функция является производной самой себя. Прежде, чем заняться этим, хочу поздравить Гомера и всех вас за то, поспеваете за мной до сих пор. В этой последней части моего видео я буду предполагать, что вы знаете немного материала из матанализа. В частности, я буду исходить из того, что вы знаете, что такое производная функции. Если вам требуется введение в это или краткое напоминание, посмотрите вот это видео сверху справа и возвращайтесь обратно. Или просто расслабьтесь и наслаждайтесь работой математической магии. Итак, мы хотим убедиться в том, что экспоненциальная функция является производной самой себя. Из-за этого равенства (сверху) мы можем записать производную экспоненциальной функции как производную единицы, плюс производную этого слагаемого, плюс производную этого члена суммы, и так далее. Чему равна производная от x в кубе, делённого на 3!, к примеру? Посмотрим. 3! – это 1*2 (т.е. 2!) умноженное ещё на 3. Производная от x в кубе – это 3 умножить на x в квадрате. Тройки сокращаются, и оставшееся оказывается равно вот этому слагаемому. Так что производная от (x^3)/3! равна просто предыдущему слагаемому в сумме. Можно показать, что производная от предыдущего члена равна члену суммы перед ним, а производная того члена равна единице, и производная единицы равна 0. И так далее. И, как вы видите, производная всего этого нагромождения в правой части равно этой же самой правой части. Что означает, что экспоненциальная функция является своей собственной производной. Фантастика, не так ли? Если вы дошли до этого момента, то нет нужды останавливаться. Давайте используем этот результат чтобы немного повеселиться. Натуральный логарифм, log(X), это обратная функция к экспоненциальной функции. Это значит, что e в степени log(X) равно X. Давайте найдём производную от обеих частей равенства. Производная от X равна 1, а производная другой части считается с использованием того, что экспоненциальная функция сама себе производная, и цепного правила дифференцирования. И получаем мы вот такое равенство. Как видим, две части в этих равенствах совпадают, что означает что мы можем написать здесь X. Разделим на него, и получим один из известных фактов из матанализа: производная натурального логарифма равна 1/X. Изумительно! Пришло время пуститься во все тяжкие. Интегрируем! Получаем вот такое равенство. Вместо X подставим e, получается такое равенство. В правой части стоит log(e), что очевидно равно единице, поскольку база логарифма равна e. Так, ещё немного! Стандартная геометрическая интерпретация этого определённого интеграла – это площадь под графиком функции 1/X между единицей и e. И эта площадь равна в точности 1. Многие люди считают, что, в отличие от числа π, число e не имеет столь интересной геометрическлй интерпретации. Однако вот она, в виде гиперболы, которая одновременно является графиком функции 1/X и одной из базовых геометрических форм, тесно связанных с π и окружностью. Вот так можно запомнить этот факт: открывайте эту жёлтую занавеску под гиперболой до тех пор, пока её площадь не будет равна в точности единице, и вы найдёте e. Хорошо. Подытоживая, я быстро покажу, как можно использовать это равенство с бесконечной суммой, чтобы вывести равенство: e^(iπ) равно (-1). По сути, этим же методом это доказывается в стандартном матанализе. Существуют аналогичные бесконечные выражения для функций синуса и косинуса. После подстановки i*X вместо X в верхнем равенстве и умножая равенство для синуса (в середине) на i, мы получаем абсолютно одинаковые выражения в фиолетовом и синем прямоугольниках. Поскольку мы имеем дело с равенствами, слева всё должно быть точно так же. Содержимое фиолетового квадрата равно сумме того, что лежит в синем прямоугольнике. И это знаменитая формула Эйлера. Всемирно известная, не так ли? Я объясняю всё это очень медленно в другом видео, основанном на Симпсонах, сверху справа, так что если вы хотите пройти через этот аргумент помедленнее, посмотрите его. После подстановки π вместо X, правая часть оказывается равна (-1), что в итоге приводит нас вновь к тождеству Эйлера, которое упоминалось в начале. Если вы смогли продержаться до этого момента, то вы точно заработали себе этот гигантский знак качества от Mathologer:) Как и всегда, мне интересно узнать, насколько ясны и хороши были мои объяснения. Пожалуйста, пишите мне об этом в комментариях. На сегодня это, пожалуй, всё.

Неопределённые интегралы

∫ e c x d x = 1 c e c x {\displaystyle \int e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}} ∫ a c x d x = 1 c ln ⁡ a a c x , {\displaystyle \int a^{cx}\;dx={\frac {1}{c\ln a}}a^{cx},} для a > 0 , a ≠ 1 {\displaystyle a>0,a\neq 1} ∫ x e c x d x = e c x c 2 (c x − 1) {\displaystyle \int xe^{cx}\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)} ∫ x 2 e c x d x = e c x (x 2 c − 2 x c 2 + 2 c 3) {\displaystyle \int x^{2}e^{cx}\;dx=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)} ∫ x n e c x d x = 1 c x n e c x − n c ∫ x n − 1 e c x d x {\displaystyle \int x^{n}e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}dx} ∫ e c x d x x = ln ⁡ | x | + ∑ i = 1 ∞ (c x) i i ⋅ i ! {\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x}}=\ln |x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{i}}{i\cdot i!}}} ∫ e c x d x x n = 1 n − 1 (− e c x x n − 1 + c ∫ e c x d x x n − 1) , {\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}dx}{x^{n-1}}}\right),} для n ≠ 1 {\displaystyle n\neq 1} ∫ e c x ln ⁡ x d x = 1 c e c x ln ⁡ | x | − Ei (c x) {\displaystyle \int e^{cx}\ln x\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)} ∫ e c x sin ⁡ b x d x = e c x c 2 + b 2 (c sin ⁡ b x − b cos ⁡ b x) {\displaystyle \int e^{cx}\sin bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)} ∫ e c x cos ⁡ b x d x = e c x c 2 + b 2 (c cos ⁡ b x + b sin ⁡ b x) {\displaystyle \int e^{cx}\cos bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)} ∫ e c x sin n ⁡ x d x = e c x sin n − 1 ⁡ x c 2 + n 2 (c sin ⁡ x − n cos ⁡ x) + n (n − 1) c 2 + n 2 ∫ e c x sin n − 2 ⁡ x d x {\displaystyle \int e^{cx}\sin ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;dx} ∫ e c x cos n ⁡ x d x = e c x cos n − 1 ⁡ x c 2 + n 2 (c cos ⁡ x + n sin ⁡ x) + n (n − 1) c 2 + n 2 ∫ e c x cos n − 2 ⁡ x d x {\displaystyle \int e^{cx}\cos ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;dx} ∫ x e c x 2 d x = 1 2 c e c x 2 {\displaystyle \int xe^{cx^{2}}\;dx={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}} ∫ 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 / 2 σ 2 d x = 1 2 (1 + erf x − μ σ 2) , {\displaystyle \int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu)^{2}/2\sigma ^{2}}}\;dx={\frac {1}{2}}(1+{\mbox{erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}),} где erf(…) - функция ошибок

Определённые интегралы

∫ 0 1 e x ⋅ ln ⁡ a + (1 − x) ⋅ ln ⁡ b d x = ∫ 0 1 (a b) x ⋅ b d x = ∫ 0 1 a x ⋅ b 1 − x d x = a − b ln ⁡ a − ln ⁡ b {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm {d} x={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}} для a > 0 , b > 0 , a ≠ b {\displaystyle a>0,\ b>0,\ a\neq b} , что есть логарифмическое среднее ∫ 0 ∞ e − a x d x = 1 a {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}} ∫ 0 ∞ e − a x 2 d x = 1 2 π a (a > 0) {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)} (интеграл Гаусса) ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = π a (a > 0) {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)} ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 e − 2 b x d x = π a e b 2 a (a > 0) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-2bx}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}}{a}}\quad (a>0)} ∫ − ∞ ∞ x e − a (x − b) 2 d x = b π a (a > 0) {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }xe^{-a(x-b)^{2}}\,\mathrm {d} x=b{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)} ∫ − ∞ ∞ x 2 e − a x 2 d x = 1 2 π a 3 (a > 0) {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a^{3}}}\quad (a>0)} ∫ 0 ∞ x n e − a x 2 d x = { 1 2 Γ (n + 1 2) / a n + 1 2 (n > − 1 , a > 0) (2 k − 1) ! ! 2 k + 1 a k π a (n = 2 k , k целое, a > 0) k ! 2 a k + 1 (n = 2 k + 1 , k целое, a > 0) {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)/a^{\frac {n+1}{2}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}&(n=2k,k\;{\text{целое}},a>0)\\{\frac {k!}{2a^{k+1}}}&(n=2k+1,k\;{\text{целое}},a>0)\end{cases}}} (!! - двойной факториал) ∫ 0 ∞ x n e − a x d x = { Γ (n + 1) a n + 1 (n > − 1 , a > 0) n ! a n + 1 (n = 0 , 1 , 2 , … , a > 0) {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,a>0)\\\end{cases}}} ∫ 0 ∞ e − a x sin ⁡ b x d x = b a 2 + b 2 (a > 0) {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)} ∫ 0 ∞ e − a x cos ⁡ b x d x = a a 2 + b 2 (a > 0) {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)} ∫ 0 ∞ x e − a x sin ⁡ b x d x = 2 a b (a 2 + b 2) 2 (a > 0) {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)} ∫ 0 ∞ x e − a x cos ⁡ b x d x = a 2 − b 2 (a 2 + b 2) 2 (a > 0) {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)} ∫ 0 2 π e x cos ⁡ θ d θ = 2 π I 0 (x) {\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)} ( I 0 {\displaystyle I_{0}} модифицированная функция Бесселя первого рода) ∫ 0 2 π e x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ d θ = 2 π I 0 (x 2 + y 2) {\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)} ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x , = Γ (s) ζ (s) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx,=\Gamma (s)\zeta (s)} (

Решение:

Данный интеграл можно найти при помощи прямого интегрирования. Для этого найдем первообразную функции sin(x), а также воспользоваться свойством, по которому постоянную можно вынести за знак интеграла.

$$ \int 5 sin(x)dx = 5 \cdot \int sin(x)dx = 5 \cdot (-cos(x)) + C = -5cos(x) + C$$

$$ \int 5 sin(x)dx = -5cos(x) + C$$